Стационарен поток на отказ на Поасон. Определение на потока на Поасон

Описва броя на случайни събития, случващи се с постоянен интензитет.

Вероятностните свойства на потока на Поасон се характеризират напълно от функцията Λ(A), равно на увеличението в интервала Анякаква намаляваща функция. Най-често потокът на Поасон има моментна стойност на параметъра λ(t)- функция, в точки на непрекъснатост на която е вероятността от събитие на потока в интервала равна на λ(t)dt. Ако А- линеен сегмент , Че

Λ (A) = ∫ a b λ (t) d t (\displaystyle \Lambda (A)=\int \limits _(a)^(b)\lambda (t)\,dt)

Поасонов поток, за който λ(t)равно на константа λ , се нарича най-простият поток с параметър λ .

Поасоновите потоци са дефинирани за многомерно и като цяло всяко абстрактно пространство, в което може да се въведе мярка Λ(A). Стационарният поток на Поасон в многомерно пространство се характеризира с пространствена плътност λ . При което Λ(A)равен на обема на района А, умножено по λ .

Класификация

Има два вида процеси на Поасон: прости (или просто: процес на Поасон) и сложни (обобщени).

Прост процес на Поасон

Позволявам λ > 0 (\displaystyle \lambda >0). Произволен процес ( X t ) t ≥ 0 (\displaystyle \(X_(t)\)_(t\geq 0))се нарича хомогенен поасонов процес с интензитет λ (\displaystyle \lambda), Ако

Сложен (обобщен) процес на Поасон

Нека означим с S k (\displaystyle S_(k))сумата от първите k елемента на въведената редица.

След това дефинираме сложен процес на Поасон ( Y t ) (\displaystyle \(Y_(t)\))как S N (t) (\displaystyle S_(N(t))) .

Имоти

• Процесът на Поасон приема само неотрицателни цели числа и освен това

P (X t = k) = λ k t k k ! e − λ t , k = 0 , 1 , 2 , … (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t)=k)=(\frac (\lambda ^(k)t^(k))(k}e^{-\lambda t},\quad k=0,1,2,\ldots } !}.

• Траекториите на процеса на Поасон са частично постоянни, ненамаляващи функции със скокове, равни на единица почти сигурно. По-точно

P (X t + h − X t = 0) = 1 − λ h + o (h) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t+h)-X_(t)=0)=1-\lambda h+o(h)) P (X t + h − X t = 1) = λ h + o (h) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t+h)-X_(t)=1)=\lambda h+o( з)) P (X t + h − X t > 1) = o (h) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t+h)-X_(t)>1)=o(h))при h → 0 (\displaystyle h\до 0),

Където o (h) (\displaystyle o(h))означава „около малко“.

Критерий

С цел някакъв случаен процес ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\))с непрекъснато време беше Поасон (просто, хомогенно) или идентично нула, достатъчно е да се удовлетворят следните условия:

Информационни свойства

Зависи ли T (\displaystyle T)от предишната част на траекторията?
P (( T > t + s ∣ T > s )) (\displaystyle \mathbb (P) (\(T>t+s\mid T>s\))) - ?

Позволявам u (t) = P (T > t) (\displaystyle u(t)=\mathbb (P) (T>t)).

U (t ∣ s) = P (T > t + s ∩ T > s) P (T > s) = P (T > t + s) P (T > s) (\displaystyle u(t\mid s) =(\frac (\mathbb (P) (T>t+s\cap T>s))(\mathbb (P) (T>s)))=(\frac (\mathbb (P) (T>t +s))(\mathbb (P) (T>s))))
u (t ∣ s) u (s) = u (t + s) (\displaystyle u(t\mid s)u(s)=u(t+s))
u (t ∣ s) = s (t) ⇔ u (t) = e − α t (\displaystyle u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^(-\alpha t )).
Разпределението на дължините на времевите интервали между скоковете има свойството на липса на памет ⇔ то е показателно.

X (b) − X (a) = n (\displaystyle X(b)-X(a)=n)- брой скокове на сегмента [ a , b ] (\displaystyle ).
Условно разпределение на скоковите моменти τ 1 , … , τ n ∣ X (b) − X (a) = n (\displaystyle \tau _(1),\dots ,\tau _(n)\mid X(b)-X(a)= н)съвпада с разпределението на вариационните серии, конструирани от извадка от дължина n (\displaystyle n)от R [ a , b ] (\displaystyle R).

Плътността на това разпределение f τ 1 , … , τ n (t) = n ! (b − a) n I (t j ∈ [ a , b ] ∀ j = 1 , n ¯) (\displaystyle f_(\tau _(1),\dots ,\tau _(n))(t)=( \frac(n{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (t_{j}\in \ \forall j={\overline {1,n}})} !}

CPT

• Теорема.

P (X (t) − λ t λ t< x) ⇉ x λ t → ∞ Φ (x) ∼ N (0 , 1) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − u 2 2 d u {\displaystyle \mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}

Скорост на конвергенция:
sup x | P (X (t) − λ t λ t< x) − Φ (x) | ⩽ C 0 λ t {\displaystyle \sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}} ,
Където C 0 (\displaystyle C_(0))- Константа на Бери-Есеен.

Приложение

Поасоновият поток се използва за моделиране на различни реални потоци: аварии, поток от заредени частици от космоса, повреди на оборудване и други. Може да се използва и за анализ на финансови механизми, като поток от плащания и други реални потоци. Да се ​​изграждат модели на различни сервизни системи и да се анализира тяхната пригодност.

Използването на потоци на Поасон значително опростява решаването на проблемите на системите за масово обслужване, свързани с изчисляването на тяхната ефективност. Но неразумната замяна на реалния поток с потока на Поасон, където това е неприемливо, води до груби грешни изчисления.

Под поток от събитияВ теорията на вероятностите ние разбираме поредица от събития, случващи се едно след друго в даден момент от времето. Примерите включват: поток на повикване в телефонна централа; поток от препоръчани писма, пристигащи в пощата и др. Като цяло събитията, които образуват поток, могат да бъдат различни. Ако събитията се различават само в моментите на тяхното възникване, тогава се нарича поток от събития хомогенен.

Потокът от събития се нарича регулярен, ако събитията следват едно след друго на строго определени интервали. Такъв поток е относително рядък в реални системи, но представлява интерес като краен случай.

Потокът от събития се нарича стационарен, ако вероятността определен брой събития да попаднат във времеви интервал зависи само от продължителността на интервала и не зависи от това къде точно се намира този интервал на времевата ос.

На практика често има потоци от приложения, чиито вероятностни характеристики не зависят от времето. Например потокът от разговори на градска телефонна централа в периода от 12 до 13 часа може да се счита за стационарен. Същото за

Потокът от събития се нарича поток без последействие, ако за всеки период от време, който не се припокрива, броят на събитията, възникващи в един от тях, не зависи от броя на събитията, възникващи в останалите.

Например потокът от пътници, влизащи в метростанция, може да се счита за поток без последствия. Потокът от пътници, напускащи метростанция, вече не може да се счита за поток без последствия, тъй като моментите на излизане на пътниците, пристигащи с един и същи влак, са зависими един от друг.

Изходящият поток (или потокът от обслужвани заявки), напускащ системата за опашка, обикновено има последица, дори ако входният поток не го прави. Помислете например за едноканална система за опашка, за която

времето за обслужване на всяка заявка има същата стойност t около. След това, в потока от обслужвани приложения, минималният интервал от време между напускането на приложенията

система, ще бъдат равни t около. Лесно се вижда, че наличието на такъв минимален интервал неизбежно води до последствия. Наистина, нека да се знае, че в един момент T 1 обслужена заявка напусна системата. Тогава можем да кажем със сигурност, че във всеки интервал от време, лежащ в рамките на ( T 1 , T 1 + t около) ,

нито едно приложение няма да напусне системата. Това означава, че ще има зависимост между броя на събитията в области, които не се припокриват.

Потокът от събития се нарича обикновени, ако вероятността за настъпване на две или повече събития за кратък период от време е от по-висок порядък на малкост в сравнение с вероятността за настъпване на едно събитие за този период. За обикновен поток от събития вероятността повече от едно събитие да се случи едновременно е нула.

Условието за обикновеност означава, че заявките идват една по една, а не по двойки, тройки и т.н.

поасониански(най-простият) поток е поток, който има свойствата на стационарност, липса на последействие и обикновеност. Името "Поасон" се дължи на факта, че за този поток броят на събитията, попадащи във всеки фиксиран интервал от време, ще бъде разпределен според закона на Поасон.

Поасоновият поток играе специална роля сред потоците от събития, до известна степен подобна на ролята на нормалния закон сред другите закони за разпределение. Може да се докаже, че точно както при сумиране на голям брой независими случайни променливи, подчинени на почти всички закони на разпределение, се получава стойност, която е приблизително разпределена според нормалния закон, при сумиране (взаимно наслагване) на голям брой обикновени , стационарни потоци с почти всяко последействие, се получава поток, колкото и да е близък до Поасон. Условията, които трябва да бъдат изпълнени за това, са подобни на условията на централната теорема, а именно добавените потоци трябва да имат приблизително равномерен ефект върху сумата.

Ефективността на една бензиностанция до голяма степен се определя от степента на изправност на колонките. Да приемем, че дозаторът за гориво е обект на поток на Поасон  

Нека разгледаме характеристиките на конструкцията на всяко от нивата. На практика най-често постъпващите потоци на търсене се приемат за Поасон /47, 70, 74, 80/. Поасоновите потоци се характеризират със стационарност, обикновеност и липса на последействие. Нека разгледаме тези свойства.  

В разглеждания макромодел входящите потоци от изисквания обикновено имат свойствата на стационарност, обикновеност и липса на последействие. Поасоновият поток се описва напълно от един параметър - интензитетът на потока R. Приблизителната формула за R има формата  

В най-простия случай (Поасонов поток), вероятността за възникване на изискване във всеки малък период от време е пропорционална на дължината на този интервал и не зависи от това дали са възникнали изисквания в предишни периоди от време или не.  

Тъй като разглеждаме хомогенен поасонов поток от кораби с интензитет μ, тогава съвместното изпълнение на равенствата  

Y(t) = k и Y(T-t)= q-k (това следва от липсата на последействие в потока на Поасон). Ето защо  

Потокът, произтичащ от произволно разреждане или обединяване на поасонови потоци, също е поасонов.  

Например, когато се описва аналитично поток от данни, това може да бъде Поасонов поток от изисквания, който е обикновен, стационарен и без последствия. Това може да е поток с равномерно разпределени изисквания. Ако разпределението е дадено от емпирични данни, стойностите са 7i1 7i2,. .., š могат да бъдат елементи на хистограми и др.  

Често има трансформации, които изискват комбиниране на потоци, идващи от различни входове. В този случай изходният сигнал може да представлява комбинация от тези потоци в един с различни характеристики. Например, ако два входа към блок С получават изисквания на Поасон, тогава изходният сигнал може също да бъде поток на Поасон с параметър, равен на сумата от параметрите на оригиналните потоци.  

Нека единични плащания следват едно след друго на произволни интервали от време, разпределени по експоненциален закон с параметър R > 0 (Поасонов поток от плащания), чиято диференциална функция на разпределение има формата  

За нестационарно течение на Поасон законът за разпределение на празнината / вече не е показателен, тъй като зависи от положението на оста Ot и вида на зависимостта R(7). Въпреки това, за някои проблеми с относително малки промени в R(0), може приблизително да се счита за показателен с интензитет R(0-  

По този начин, за изследваната система S с дискретни състояния и непрекъснато време, преходите от състояние в състояние се извършват под въздействието на поасонови потоци от събития с определен интензитет R.  

В разглеждания модел капацитетът трябва да се счита за ограничен. Входящият поток от заявки идва от ограничен брой работещи машини (N - k), които в произволни моменти се развалят и изискват поддръжка. Освен това всяка машина от (N - k) работи. Генерира Поасонов поток от изисквания с интензивно  

Нека си представим автомобил като определена система S с дискретни състояния iSj,. 2. .... Sn, който преминава от състояние S/ в състояние Sj(i - 1, 2,..., n,j = I, 2,..., и) под влиянието на поасонови потоци от събития (откази) с интензитет Xd. Ще разгледаме следните състояния на автомобила, в които може да бъде по време на работа и които се характеризират с целодневен престой  

Поасонов поток от събития 53  

Обърнете внимание, че докато потокът на Поасон k (t) за възникване на обстоятелства, водещи до ликвидация на сметката от вложителя, не може да се наблюдава в рамките на нашия модел, вероятността q (tu,t) за поддържане на сметката и очакваното продължителността XI1 = Mt - 10 от съществуването на акаунта може да бъде оценена по принцип от наблюдавана статистика. Имайки статистически оценки t - 10 и 4-(tu,t) за стойностите Mt - 0 и q (t0,t), е лесно да се получат оценки L. =(t. -)" и X =-( i-t0) ln (0 0 за параметър A на ненаблюдаем Поасонов процес. Параметърът X, оценен по този начин, има значението на очаквания брой настъпвания за единица време на обстоятелства, водещи до закриване на сметката.  

Следователно процесът на раждане на популация от предприемачи или нови предприемачи може да се разглежда като обикновен Поасонов поток.  

За най-простия Поасонов поток вероятността точно m събития да се случат за време r е равна на  

Определение 5.8. Стационарният поток на Поасон се нарича най-простият.  

Нека разгледаме нестационарен поток на Поасон с интензитет Mf), определен времеви интервал с дължина r>0, започващ от момента t0 (и завършващ, следователно, в момента +r) и дискретна случайна променлива X p r) - броят на събитията, възникващи в потока за период от време от ta до t0+r.  

Следствие 6.1. В нестационарен поток на Поасон с интензитет A(t), вероятността през интервала от време от t0 до t0+r  

Определение 6.2. Вероятностният елемент за възникване на събитие в нестационарен поток на Поасон е вероятността >,(AO за възникване на събитие за елементарен (достатъчно малък) период от време от t0 до t0+bt.  

Теорема 6.2. За елемента на вероятността за възникване на събитие за елементарен период от време от t0 до t0+Af в нестационарен поток на Поасон с интензитет A(t) се прилага приблизителната формула  

Интензитет на нестационарния поток на Поасон A(t)  

През последните години обаче беше доказано, „че ако обслужваща система, състояща се от /7 устройства, получава поток на Поасон с интензитет /I и продължителността на услугата е предмет на напълно произволен закон за разпределение C (ES), математическото разпределение на което е I/ s, то за граничните вероятности P остава валидна формула (36). продължителност на услугата...  

Нека разгледаме решаването на такъв проблем в условията на Neftekumsky UBR. Анализът на работата на службата за тестване даде възможност да се съставят статистически серии за интензивността на доставяне на кладенци за тестване и продължителността на тестването. Проучването на серията ни позволи да заключим, че потокът от кладенци, влизащ в теста, е един стационарен поток без последствия, т.е. има свойствата на поток на Поасон. С разумна степен на точност можем да предположим, че времето за обслужване е разпределено по експоненциален закон. Въз основа на статистически серии бяха съставени таблици за разпределение на интензивността на доставяне на кладенци за изпитване (Таблица 36)  

Този проблем се формулира по следния начин: потокът от изисквания е поасонов с интензитет I и продължителността на услугата се разпределя по експоненциалния закон със средна продължителност на услугата iAy. Ако броят на обслужващите устройства е равен на n, тогава при стационарен поток на Поасон от искания, вероятностите Pt (t) (вероятностите, че в момента t обслужването е заето от I устройства) са близки до техните гранични стойности (Erlash формула)  

Ако се комбинират няколко независими обикновени потока със сравнима интензивност, тогава с увеличаване на броя на компонентните потоци комбинираният поток се доближава до най-простия с възможна нестационарност. Ако сумарните потоци са стационарни, тогава в границата се получава поток на Поасон. Интензитетът на комбинирания поток е равен на сумата от интензитетите на всеки от тях.  

Всяка от единиците, включени в блока, е сложна система, състояща се от голям брой елементи. Отказът на всеки от тях може да доведе до загуба на способността на цялото звено да изпълнява възложената задача. Потокът от откази на единица във времето се формира в резултат на наслагването на много събития - потоци от откази на елементите, включени в неговия състав. При решаване на практически проблем отказите в елементите могат да се разглеждат като независими (или слабо зависими) и обикновени събития, следователно за общия поток от откази на целия блок е легитимно да се приложи теоремата за ограничение на потока в теорията на случайните процеси . Тази теорема определя условията, при които сумата от независими (или слабо зависими) обикновени потоци от събития се свежда до разпределението на Поасон на броя на отказите на единица за даден период от време t. Условията са, че добавените потоци трябва да имат приблизително същото въздействие върху общия поток. В инженерната практика се препоръчва сумата от повече от 5-7 потока да се счита за поток на Поасон, ако интензитетите на тези потоци са от един и същи ред. Това твърдение се основава на множество проучвания, проведени с помощта на статистически тестове. Въз основа на горното, броят на отказите m на всяка единица на IES единицата, възникнали през интервала (/, M-t), има разпределението на формата  

В периода на нормална работа на блока (в централната секция) при решаване на практически задачи често се приема, че R(/) = R = onst, т.е. приемете стационарен модел на потока при повреда на Поасон. В този случай формулата (2.8.1) приема формата  

Според индикатора за безотказност на блока IES се взема средното време между отказите на тръбата за гориво, а индикаторът за ремонтопригодност е средното време за възстановяване на работно състояние след повреда на тръбата за гориво, за да се получат формули за тяхното изчисляване показатели, ползваме имота

Нека разгледаме някаква физическа система S с дискретни състояния, която се движи от състояние в състояние под влияние на някои случайни събития, например обаждания на телефонна централа, повреди (откази) на елементи на оборудването, изстрели, насочени към цел и т.н.

Нека си представим това така, сякаш събитията, които прехвърлят системата от състояние в състояние, са някакъв вид потоци от събития (потоци от повиквания, потоци от откази, потоци от изстрели и т.н.).

Нека системата S с графиката на състоянието, показана на фиг. 4.27, в момента t е в състояние S; и може да премине от него към състояние под въздействието на някакъв поасонов поток от събития с интензивност, веднага щом се появи първото събитие от този поток, системата моментално преминава (скача) от S към Както знаем, вероятността за този преход над елементарен период от време (елемент на вероятността за преход), равен на . По този начин, плътността на вероятността за преход в непрекъсната верига на Марков не е нищо повече от интензивността на потока от събития, който движи системата по съответната стрелка.

Ако всички потоци от събития, които прехвърлят системата S от състояние в състояние, са поасонови (стационарни или нестационарни - няма разлика), тогава протичащият в системата процес ще бъде марковски. Наистина, потокът на Поасон няма последействие, следователно за дадено състояние на системата в даден момент нейните преходи към други състояния в бъдеще се причиняват само от появата на някои събития в потоците на Поасон и вероятностите за възникване от тези събития не зависят от „предисторията“ на процеса.

В бъдеще, когато разглеждаме процеси на Марков в системи с дискретни състояния и непрекъснато време (непрекъснати вериги на Марков), за нас ще бъде удобно във всички случаи да разглеждаме преходите на системата от състояние в състояние като възникващи под влиянието на някои потоци от събития, дори ако в действителност тези събития са били единични. Например, ще разглеждаме работещо техническо устройство като обект на поток от повреди, въпреки че всъщност то може да се повреди само веднъж. Всъщност, ако дадено устройство се повреди в момента, когато пристигне първото събитие от потока, тогава няма абсолютно никакво значение дали потокът от повреди продължава след това или спира: съдбата на устройството вече не зависи от него. За нас ще бъде по-удобно да се занимаваме с потоци от събития.

И така, ние разглеждаме система S, в която преходите от състояние в състояние се извършват под въздействието на поасонови потоци от събития с определен интензитет. Нека отбележим тези интензитети (плътности на вероятността на преходите) върху графиката на системните състояния със съответните стрелки.

Получаваме обозначена графика на състоянието (фиг. 4.27); според което, използвайки правилото, формулирано в § 3, можем веднага да напишем диференциалните уравнения на Колмогоров за вероятностите на състоянията.

Пример 1. Техническа система S се състои от два възела: I и II; Всеки от тях, независимо от другия, може да се провали (провали). Потокът от повреда на първия възел е поасонов, с интензитета на втория - също поасонов, с интензитета на Всеки възел веднага след повредата започва да се ремонтира (възстановява). Потокът от възстановявания (завършване на ремонта на ремонтирания възел) и за двата възела е Поасон с интензитет К.

Създайте графика на състоянието на системата и напишете уравнения на Колмогоров за вероятностите на състоянието. Определете при какви начални условия трябва да се решат тези уравнения, ако в началния момент системата работи правилно.

Решение. Състояния на системата:

И двата възела на неистината

Първият блок е в ремонт, вторият работи,

Първият блок работи, вторият е в ремонт,

И двата блока са в ремонт.

Означената графика на състоянието на системата е показана на фиг. 4.28.

Интензитетите на потоците от събития на фиг. 4.28 са включени поради следните причини. Ако системата S е в състояние, тогава върху нея действат два потока от събития: поток от грешки на възел I с интензитет X, прехвърлящ го в състояние и поток от грешки на възел II с интензитет, прехвърлящ го в Нека сега системата е в състояние (възел I се ремонтира, възел II е правилен). От това състояние системата може първо да се върне към (това се случва под въздействието на поток от възстановявания с интензивност); второ, отидете в състояние (когато ремонтът на възел I все още не е завършен, а възел II междувременно е повреден); този преход се осъществява под влиянието на потока на повреда на възел II, като интензитетите на потока на останалите стрелки са отбелязани по подобен начин.

Означавайки вероятностите на състоянията и използвайки правилото, формулирано в § 3, записваме уравненията на Колмогоров за вероятностите на състоянията:

Началните условия, при които трябва да се реши тази система са: при

Обърнете внимание, че използвайки условието

би било възможно да се намали броят на уравненията с едно. Наистина, всяка от вероятностите може да бъде изразена по отношение на другите и заменена в уравнения (6.1), а уравнението, съдържащо производната на тази вероятност от лявата страна, може да бъде отхвърлено.

Отбележете в допълнение, че уравнения (6.1) са валидни както за постоянни интензитети на поасонови потоци X, така и за променливи:

Пример 2. Група от пет самолета в строй „колона“ (фиг. 4.29) извършва нападение на територията на противника. Водещият самолет (водещ) е смутителят; Докато не бъде свален, самолетът след него не може да бъде открит и атакуван от вражеските системи за противовъздушна отбрана. Атакува се само заглушителят. Потокът от атаки е поасонов, с интензитет X (атаки/час). В резултат на атаката смутителят е поразен с вероятност p.

Ако смутителят е ударен (свален), тогава самолетите, които го следват, се откриват и подлежат на атаки от ПВО; към всяка от тях се насочва поасонов поток от атаки с интензитет X (до попадение); Всяка атака удря самолета с вероятност p. Когато самолет бъде ударен, атаките срещу него спират, но не се пренасят върху други самолети.

Напишете уравнения на Колмогоров за вероятностите за състояния на системата и посочете началните условия.

Решение. Ще номерираме състоянията на системата според броя на оцелелите самолети в групата:

Всички самолети са непокътнати;

Смутителят е свален, останалите самолети са непокътнати;

Смутителят и един бомбардировач са свалени, останалите самолети са непокътнати;

Смутителят и два бомбардировача са свалени, останалите самолети са непокътнати;

Смутителят и три бомбардировача са свалени, единият самолет е непокътнат;

Всички самолети са свалени.

Разграничаваме държавите един от друг по броя на оцелелите бомбардировачи, а не по това кой от тях е запазен, тъй като всички бомбардировачи са еквивалентни по условията на задачата - атакувани са с еднаква интензивност и са поразени с еднаква вероятност.

Графиката на състоянието на системата е показана на фиг. 4 30. За да маркираме тази графика, ние определяме интензитетите на потоците от събития, които прехвърлят системата от състояние в състояние.

Системата се извежда от състоянието чрез поток от увреждащи (или „успешни“) атаки, т.е. тези атаки, които водят до поражението на директора (разбира се, ако той не е бил ударен преди това).

Интензивността на потока от атаки е равна на X, но не всички са поразителни: всяка от тях се оказва поразителна само с вероятност от . Очевидно интензивността на потока от увреждащи атаки е равна на тази интензивност и е посочена като първата стрелка вляво на графиката (фиг. 4.30).

Нека вземем следващата стрелка и намерим интензитета. Системата е в състояние, т.е. четири самолета са непокътнати и могат да бъдат атакувани. Ще премине в състояние след време, ако през това време някой от самолетите (независимо кой) бъде свален. Да намерим вероятността за обратното събитие - през това време няма да бъде свален нито един самолет:

Тук термините от по-висок порядък на малкост спрямо Изваждането на тази вероятност от единица се отхвърлят, получаваме вероятността за преход, дължаща се на времето (елемент на вероятността за преход):

което е обозначено с втората стрелка отляво. Обърнете внимание, че интензитетът на този поток от събития е просто равен на сумата от интензитетите на потоците увреждащи атаки, насочени към отделни самолети. Разсъждавайки визуално, можем да получим това заключение, както следва: системата S в състояние се състои от четири самолета; всяка от тях е засегната от поток от увреждащи атаки с интензивност, което означава, че системата като цяло е засегната от общия поток от увреждащи атаки с интензивност

Решение. Означената графика на състоянието е показана на фиг. 4.31.

Уравненията на Колмогоров!

Началните условия са същите като в пример 2.

Обърнете внимание, че в този раздел записахме само диференциални уравнения за вероятностите на състоянията, но не решихме тези уравнения.

В тази връзка може да се отбележи следното. Уравненията за вероятностите на състоянието са линейни диференциални уравнения с постоянни или променливи коефициенти - в зависимост от това дали интензитетът на потоците от събития, които прехвърлят системата от състояние в състояние, е постоянен или променлив.

Система от няколко линейни диференциални уравнения от този тип може само в редки случаи да бъде интегрирана в квадратури: обикновено такава система трябва да се решава числено - или ръчно, или на аналогов компютър (AVM), или накрая на цифров компютър . Всички тези методи за решаване на системи от диференциални уравнения не създават трудности; Следователно най-важното е да можем да напишем система от уравнения и да формулираме начални условия за нея, до което се ограничихме тук.

В предишни лекции научихме как да симулираме появата на случайни събития. Тоест можем да играем койтоот възможните събития ще се случат и в койтоколичество. За да определите това, трябва да знаете статистическите характеристики на настъпването на събитията, например такава стойност може да бъде вероятността за настъпване на събитие или вероятностното разпределение на различни събития, ако има безкрайно много видове от тези събития.

Но често също е важно да се знае Когатова или онова събитие ще се случи конкретно във времето.

Когато има много събития и те следват едно след друго, те се формират поток. Имайте предвид, че събитията трябва да са хомогенни, тоест донякъде подобни едно на друго. Например появата на шофьори на бензиностанции, които искат да заредят гориво в колата си. Тоест хомогенните събития образуват определена серия. В този случай се приема, че е дадена статистическата характеристика на това явление (интензивността на потока от събития). Интензивността на потока от събития показва колко средно аритметичнотакива събития се случват за единица време. Но кога точно ще се случи всяко конкретно събитие трябва да се определи с помощта на методи за моделиране. Важно е, че когато генерираме например 1000 събития за 200 часа, техният брой ще бъде приблизително равен на средната интензивност на възникване на събития 1000/200 = 5 събития на час, което е статистическа стойност, характеризираща този поток като цяло.

Интензитетът на потока в известен смисъл е математическото очакване на броя на събитията за единица време. Но в действителност може да се окаже, че 4 събития се появяват в един час, 6 в друг, въпреки че средно има 5 събития на час, така че една стойност не е достатъчна, за да характеризира потока. Второто количество, характеризиращо колко голямо е разпространението на събитията спрямо математическото очакване, както и преди, е дисперсията. Всъщност тази стойност определя случайността на събитието, слабата предсказуемост на момента на неговото възникване. За тази стойност ще говорим в следващата лекция.

Поток от събития е поредица от хомогенни събития, възникващи едно след друго на произволни интервали. На времевата ос тези събития изглеждат както е показано на фиг. 28.1.

Пример за поток от събития е последователността от моменти, когато самолети докосват пистата, докато пристигат на летище.

Интензивност на потока λ това е средният брой събития за единица време. Интензитетът на потока може да се изчисли експериментално по формулата: λ = н/Tн, Където нброй събития, настъпили по време на наблюдението Tн.

Ако интервалът между събитията τ йравна на константа или определена с някаква формула във формата: T й = f(T й 1), тогава потокът се извиква детерминистичен. В противен случай потокът се нарича случаен.

Има произволни потоци:

• обикновен: вероятността за едновременно възникване на две или повече събития е нула;
• стационарен: честота на възникване на събития λ (T) = const( T) ;
• без последействие: вероятността за възникване на случайно събитие не зависи от момента на възникване на предишни събития.

Поасонов поток

Обичайно е потокът на Поасон да се приема като стандарт на потока при моделирането..

Поасонов потоктова е обикновен поток без последействие.

Както беше посочено по-горе, вероятността, че по време на интервал от време (T 0 , T 0 + τ ) ще се случи мсъбития се определя от закона на Поасон:

Където аПараметър на Поасон.

Ако λ (T) = const( T) , това е стационарен поток на Поасон(най-простият). В такъв случай а = λ · T . Ако λ = var( T) , това е нестационарен поток на Поасон.

За най-простия поток, вероятността за възникване мсъбития по време на τ е равно на:

Вероятността да не се случи (т.е. никаква, м= 0 ) събития във времето τ е равно на:

Ориз. 28.2 илюстрира зависимостта П 0 от времето. Очевидно е, че колкото по-дълго е времето за наблюдение, толкова по-малка е вероятността да не се случи събитие. Освен това, колкото по-висока е стойността λ , колкото по-стръмна е графиката, т.е. толкова по-бързо намалява вероятността. Това съответства на факта, че ако интензивността на възникване на събития е висока, тогава вероятността събитието да не се случи бързо намалява с времето на наблюдение.

Вероятността за възникване на поне едно събитие ( ПХБ1С) се изчислява, както следва:

защото П HB1S + П 0 = 1 (или ще се появи поне едно събитие, или няма да се появи нито едно, другото не е дадено).

От графиката на фиг. 28.3 е ясно, че вероятността за настъпване на поне едно събитие клони към единица във времето, тоест при съответно дългосрочно наблюдение на събитието, то определено ще се случи рано или късно. Колкото по-дълго наблюдаваме дадено събитие (толкова повече T), толкова по-голяма е вероятността събитието да се случи, графиката на функцията нараства монотонно.

Колкото по-голяма е интензивността на настъпване на събитието (толкова повече λ ), толкова по-бързо се случва това събитие и толкова по-бързо функцията клони към единица. Параметър на диаграмата λ представена от стръмността на линията (наклон на тангентата).

Ако увеличите λ , тогава при наблюдение на събитие през същото време τ , вероятността за възникване на събитие се увеличава (виж Фиг. 28.4). Очевидно графиката започва от 0, тъй като ако времето за наблюдение е безкрайно малко, тогава вероятността събитието да се случи през това време е незначителна. И обратното, ако времето за наблюдение е безкрайно дълго, тогава събитието определено ще се случи поне веднъж, което означава, че графиката клони към стойност на вероятност, равна на 1.

Като изучавате закона, можете да определите, че: м х = 1/λ , σ = 1/λ , тоест за най-простия поток м х = σ . Равенството на математическото очакване на стандартното отклонение означава, че този поток е поток без последействие. Дисперсията (по-точно стандартното отклонение) на такъв поток е голяма. Физически това означава, че времето на настъпване на дадено събитие (разстоянието между събитията) е слабо предвидимо, произволно и се намира в интервала м х – σ < τ й < м х + σ . Въпреки че е ясно, че средно е приблизително равно на: τ й = м х = Tн/ н . Събитие може да се случи по всяко време, но в рамките на този момент τ йотносително м хда се [ σ ; +σ ] (големината на последействието). На фиг. Фигура 28.5 показва възможните позиции на събитие 2 спрямо времевата ос за дадено σ . В този случай те казват, че първото събитие не засяга второто, второто не засяга третото и т.н., тоест няма последействие.

По смисъла на Правно на r(вижте лекция 23. Моделиране на случайно събитие. Моделиране на пълна група от несъвместими събития), следователно, изразяване τ от формулата (*) , накрая, за да определим интервалите между две случайни събития, имаме:

τ = 1/ λ Ln( r) ,

Където rпроизволно число, равномерно разпределено от 0 до 1, което е взето от RNG, τ интервал между случайни събития (случайна променлива τ й ).

Пример 1. Нека разгледаме потока от продукти, пристигащи на технологична операция. Продуктите пристигат на случаен принцип средно осем броя на ден (скорост на потока λ = 8/24 [единици/час]). Необходимо е да се симулира този процес вътре T n = 100 часа. м = 1/λ = 24/8 = 3 , тоест средно една част на три часа. забележи това σ = 3 . На фиг. Фигура 28.6 представя алгоритъм, който генерира поток от случайни събития.

На фиг. Фигура 28.7 показва резултата от алгоритъма: моментите във времето, когато частите са пристигнали за операцията. Както се вижда, само в периода T n = 100 обработени производствени единици н= 33 продукта. Ако стартираме алгоритъма отново, тогава нможе да се окаже, че е равен, например, 34, 35 или 32. Но средно, за Калгоритъмът се изпълнява нще бъде равно на 33.33 Ако изчислите разстоянията между събитията Tс ази времеви точки, определени като 3 аз, тогава средно стойността ще бъде равна на σ = 3 .

Моделиране на необичайни потоци от събития

Ако се знае, че потокът не е обикновен, тогава е необходимо да се моделира, освен момента на възникване на събитието, също и броя на събитията, които могат да се появят в този момент. Например колите пристигат на железопътна гара като част от влак в произволни часове (редовен влаков поток). Но в същото време влакът може да има различен (случаен) брой вагони. В този случай за потока от вагони се говори като за поток от извънредни събития.

Да приемем, че М к = 10 , σ = 4 (т.е. средно в 68 случая от 100 във влака има от 6 до 14 вагона) и техният брой се разпределя по нормалния закон. На мястото, отбелязано (*) в предишния алгоритъм (виж Фиг. 28.6), трябва да вмъкнете фрагмента, показан на Фиг. 28.8.

Пример 2. Решението на следния проблем е много полезно в производството. Какъв е средният дневен престой на оборудването на технологичен възел, ако възелът обработва всеки продукт за произволно време, определено от интензивността на потока от случайни събития λ 2? В същото време експериментално е установено, че продуктите също се доставят за обработка в произволно определено от потока време λ 1 в партиди от 8 броя и размерът на партидата се променя на случаен принцип според нормалния закон с м = 8 , σ = 2 (вижте лекция 25). Преди моделиране T= 0 нямаше продукти в наличност. Необходимо е да се симулира този процес вътре T n = 100 часа.

На фиг. Фигура 28.9 представя алгоритъм, който произволно генерира поток от пристигания на партиди продукти за обработка и поток от случайни събития, излизащи на партиди продукти от обработка.

На фиг. Фигура 28.10 показва резултата от алгоритъма: моментите от време, когато частите са пристигнали в операцията, и моментите от време, когато частите са напуснали операцията. Третият ред показва колко части са били в опашката за обработка (лежат в склада на възела) в различни моменти от време.

Като отбелязваме за обработващия възел времето, когато е бил неактивен в очакване на следващата част (вижте на Фиг. 28.10 времевите секции, маркирани в червено), можем да изчислим общото време на престой на възела за цялото време на наблюдение и след това да изчислим среден престой през деня. За тази реализация това време се изчислява, както следва:

Tи т.н. ср. = 24 · ( T 1 пр T 2 пр T 3 пр T 4 ave + + T ни т.н.)/ Tн.

Упражнение 1 . Промяна на стойността σ , инсталирайте зависимост Tи т.н. ср. ( σ ) . Определяйки разходите за престой на възел на 100 евро/час, определете годишните загуби на предприятието от нередности в работата на доставчиците. Предложете формулировката на клаузата от договора на предприятието с доставчиците „Размерът на глобата за забавяне на доставката на продуктите“.

Задача 2. Чрез промяна на размера на първоначалното попълване на склада, определете как ще се променят годишните загуби на предприятието от нередност в работата на доставчиците в зависимост от количеството на запасите, приети в предприятието.

Симулация на нестационарни потоци от събития

В някои случаи интензитетът на потока може да се промени с времето λ (T) . Такъв поток се нарича нестационарен. Например средният брой линейки на час, напускащи станцията в отговор на обаждания от населението на голям град, може да варира през деня. Известно е например, че най-големият брой обаждания се пада на интервалите от 23 до 01 сутринта и от 05 до 07 часа сутринта, докато в останалите часове е наполовина по-малко (виж фиг. 28.11).

В този случай разпределението λ (T) може да се посочи или чрез графика, формула или таблица. И в алгоритъма, показан на фиг. 28.6, на мястото, отбелязано с (**), ще трябва да вмъкнете фрагмента, показан на фиг. 28.12.