تدفق فشل بواسون ثابت. تعريف تدفق بواسون

يصف عدد الأحداث العشوائية التي تحدث بكثافة ثابتة.

تتميز الخصائص الاحتمالية لتدفق بواسون تمامًا بالوظيفة Λ(أ)، يساوي الزيادة في الفاصل الزمني أبعض الوظائف المتناقصة. في أغلب الأحيان، يكون لتدفق بواسون قيمة معلمة فورية φ(ر)- دالة عند نقاط الاستمرارية التي يكون فيها احتمال حدوث حدث تدفق في الفترة يساوي φ (ر) د.ت. لو أ- القطعة المستقيمة ، الذي - التي

Λ (A) = ∫ a b lect (t) d t (\displaystyle \Lambda (A)=\int \limits _(a)^(b)\lambda (t)\,dt)

تدفق بواسون الذي φ(ر)يساوي ثابت λ ، يسمى أبسط تدفق مع المعلمة λ .

يتم تعريف تدفقات بواسون للأبعاد المتعددة، وبشكل عام، لأي مساحة مجردة يمكن إدخال مقياس فيها Λ(أ). يتميز تدفق بواسون الثابت في الفضاء متعدد الأبعاد بالكثافة المكانية λ . حيث Λ(أ)يساوي حجم المنطقة أ، مضروبا λ .

تصنيف

هناك نوعان من عمليات بواسون: بسيطة (أو ببساطة: عملية بواسون) ومعقدة (معممة).

عملية بواسون بسيطة

يترك ν > 0 (\displaystyle \lambda >0). عملية عشوائية ( X t ) t ≥ 0 (\displaystyle \(X_(t)\)_(t\geq 0))تسمى عملية بواسون متجانسة بكثافة lect (\displaystyle \lambda)، لو

عملية بواسون المعقدة (المعممة).

دعونا نشير بواسطة س ك (\displaystyle S_(ك))مجموع عناصر k الأولى من التسلسل الذي تم إدخاله.

ثم نحدد عملية بواسون معقدة ( Y t ) (\displaystyle \(Y_(t)\))كيف S N (t) (\displaystyle S_(N(t))) .

ملكيات

• تقبل عملية بواسون فقط القيم الصحيحة غير السالبة، علاوة على ذلك

P (X t = k) = lect k t k k ! e − λ t , k = 0 , 1 , 2 , … (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t)=k)=(\frac (\lambda ^(k)t^(k))(k}e^{-\lambda t},\quad k=0,1,2,\ldots } !}.

• إن مسارات عملية بواسون عبارة عن دوال ثابتة غير متناقصة، مع قفزات تساوي واحدًا تقريبًا. بدقة اكثر

P (X t + h − X t = 0) = 1 − lect h + o (h) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t+h)-X_(t)=0)=1-\lambda ح+س(ح)) P (X t + h − X t = 1) = lect h + o (h) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t+h)-X_(t)=1)=\lambda h+o( ح)) P (X t + h − X t > 1) = o (h) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t+h)-X_(t)>1)=o(h))في ح → 0 (\displaystyle h\to 0),

أين س (ح) (\displaystyle o(h))يعني "حول الصغيرة".

معيار

من أجل بعض العمليات العشوائية ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\))إذا كان الزمن المستمر بواسون (بسيط، متجانس) أو يساوي صفراً، يكفي استيفاء الشروط التالية:

خصائص المعلومات

هل يعتمد ذلك ت (\displaystyle T)من الجزء السابق من المسار؟
P (( T > t + s ∣ T > s )) (\displaystyle \mathbb (P) (\(T>t+s\mid T>s\))) - ?

يترك u (t) = P (T > t) (\displaystyle u(t)=\mathbb (P) (T>t)).

U (t ∣ s) = P (T > t + s ∩ T > s) P (T > s) = P (T > t + s) P (T > s) (\displaystyle u(t\mid s) =(\frac (\mathbb (P) (T>t+s\cap T>s))(\mathbb (P) (T>s)))=(\frac (\mathbb (P) (T>t +s))(\mathbb (P) (T>s))))
u (t ∣ s) u (s) = u (t + s) (\displaystyle u(t\mid s)u(s)=u(t+s))
u (t ∣ s) = s (t) ⇔ u (t) = e − α t (\displaystyle u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^(-\alpha t )).
إن توزيع أطوال الفترات الزمنية بين القفزات له خاصية نقص الذاكرة ⇔ فهو إرشادي.

X (ب) − X (a) = n (\displaystyle X(b)-X(a)=n)- عدد القفزات على المقطع [ أ , ب ] (\displaystyle ).
التوزيع المشروط لحظات القفز τ 1 , … , τ n ∣ X (b) − X (a) = n (\displaystyle \tau _(1),\dots ,\tau _(n)\mid X(b)-X(a)= ن)يتزامن مع توزيع سلسلة الاختلاف المبنية من عينة من الطول ن (\displaystyle n)من ر [ أ , ب ] (\displaystyle R).

كثافة هذا التوزيع و τ 1 , … , τ n (t) = n ! (b − a) n I (t j ∈ [ a , b ] ∀ j = 1 , n ¯) (\displaystyle f_(\tau _(1),\dots ,\tau _(n))(t)=( \فارك(ن{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (t_{j}\in \ \forall j={\overline {1,n}})} !}

CPT

• نظرية.

ف (X (ر) −  ر  ر< x) ⇉ x λ t → ∞ Φ (x) ∼ N (0 , 1) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − u 2 2 d u {\displaystyle \mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}

سرعة التقارب:
سوب س | ف (X (ر) −  ر  ر< x) − Φ (x) | ⩽ C 0 λ t {\displaystyle \sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}} ,
أين ج 0 (\displaystyle C_(0))- ثابت بيري-إيسين.

طلب

يُستخدم تدفق بواسون لنمذجة التدفقات الحقيقية المختلفة: الحوادث، وتدفق الجسيمات المشحونة من الفضاء، وأعطال المعدات وغيرها. ويمكن استخدامه أيضًا لتحليل الآليات المالية، مثل تدفق المدفوعات والتدفقات الحقيقية الأخرى. بناء نماذج لأنظمة الخدمة المختلفة وتحليل مدى ملاءمتها.

يؤدي استخدام تدفقات بواسون إلى تبسيط حل مشكلات أنظمة الانتظار المرتبطة بحساب كفاءتها إلى حد كبير. لكن الاستبدال غير المعقول للتدفق الحقيقي بتدفق بواسون حيث يكون هذا غير مقبول يؤدي إلى حسابات خاطئة فادحة.

تحت تيار من الأحداثفي نظرية الاحتمالات، نحن نفهم سلسلة من الأحداث التي تحدث واحدة تلو الأخرى في وقت ما. تشمل الأمثلة: تدفق المكالمات في مقسم الهاتف؛ تدفق الرسائل المسجلة التي تصل إلى مكتب البريد، الخ. بشكل عام، يمكن أن تكون الأحداث التي تشكل التدفق مختلفة. إذا اختلفت الأحداث فقط في لحظات حدوثها، فسيتم استدعاء تدفق الأحداث متجانس.

يسمى تدفق الأحداث منتظمًا إذا كانت الأحداث تتبع بعضها البعض على فترات زمنية محددة بدقة. مثل هذا التدفق نادر نسبيًا في الأنظمة الحقيقية، ولكنه مهم كحالة متطرفة.

يتم استدعاء تيار الأحداث ثابت، إذا كان احتمال وقوع عدد معين من الأحداث في فترة زمنية يعتمد فقط على مدة الفاصل الزمني ولا يعتمد على المكان الذي يقع فيه هذا الفاصل الزمني بالضبط على محور الوقت.

ومن الناحية العملية، غالبًا ما تكون هناك تدفقات من التطبيقات التي لا تعتمد خصائصها الاحتمالية على الوقت. على سبيل المثال، يمكن اعتبار تدفق المكالمات في مقسم هاتف المدينة في الفترة الزمنية من 12 إلى 13 ساعة خطًا أرضيًا. الشيء نفسه بالنسبة ل

يتم استدعاء تيار الأحداث تدفق دون تأثير لاحق، إذا كان عدد الأحداث التي تحدث في إحدى الفترات الزمنية غير المتداخلة لا يعتمد على عدد الأحداث التي تحدث في الفترات الأخرى.

على سبيل المثال، يمكن اعتبار تدفق الركاب الذين يدخلون محطة المترو تدفقًا بدون تأثير لاحق. لم يعد من الممكن اعتبار تدفق الركاب الذين يغادرون محطة المترو تدفقًا بدون تأثير لاحق، نظرًا لأن لحظات خروج الركاب الذين يصلون في نفس القطار تعتمد على بعضهم البعض.

عادةً ما يكون لتدفق الإخراج (أو دفق الطلبات الخدمية) الذي يغادر نظام الانتظار تأثير لاحق، حتى لو لم يحدث ذلك لتدفق الإدخال. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، نظام انتظار أحادي القناة

وقت الخدمة لأي طلب له نفس القيمة ر حول. ثم، في تدفق التطبيقات المخدومة، الحد الأدنى للفاصل الزمني بين مغادرة التطبيقات

النظام، سوف يكون متساويا ر حول. ومن السهل أن نرى أن وجود مثل هذا الحد الأدنى من الفاصل الزمني يؤدي حتما إلى آثار لاحقة. في الواقع، فليعلم أنه في مرحلة ما رتم مغادرة النظام من خلال طلب خدمة واحد. ثم يمكننا أن نقول على وجه اليقين أنه في أي فترة زمنية تقع ضمن ( ر 1 , ر 1 + ر حول) ,

لن يترك أي تطبيق النظام. وهذا يعني أنه سيكون هناك اعتماد بين أعداد الأحداث في المناطق غير المتداخلة.

يتم استدعاء تيار الأحداث عادي، إذا كان احتمال وقوع حدثين أو أكثر في فترة زمنية قصيرة ذو درجة صغر أعلى مقارنة باحتمال وقوع حدث واحد في هذه الفترة. بالنسبة لتدفق عادي من الأحداث، فإن احتمال وقوع أكثر من حدث واحد في وقت واحد هو صفر.

تعني حالة الاعتيادية أن الطلبات تأتي واحدًا تلو الآخر، وليس في أزواج أو ثلاثة توائم وما إلى ذلك.

بواسونيان(الابسط) التدفق هو تدفق له خصائص الثبات وغياب التأثير اللاحق والعادي. يرجع اسم "بواسون" إلى حقيقة أنه بالنسبة لهذا التدفق، سيتم توزيع عدد الأحداث التي تقع في أي فترة زمنية محددة وفقًا لقانون بواسون.

ويلعب تدفق بواسون دورا خاصا بين تدفقات الأحداث، ويشبه إلى حد ما دور القانون الطبيعي بين قوانين التوزيع الأخرى. يمكن إثبات أنه، كما هو الحال عند جمع عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة، الخاضعة لأي قوانين توزيع تقريبًا، يتم الحصول على قيمة يتم توزيعها تقريبًا وفقًا للقانون العادي، عند جمع (تراكب متبادل) عدد كبير من المتغيرات العادية ، يتدفق بشكل ثابت مع أي تأثير لاحق تقريبًا، ويتم الحصول على التدفق، بغض النظر عن مدى قربه من بواسون. الشروط التي يجب استيفاؤها لتحقيق ذلك تشبه شروط النظرية المركزية، أي أن التدفقات المضافة يجب أن يكون لها تأثير موحد تقريبًا على المجموع.

يتم تحديد كفاءة محطة الوقود إلى حد كبير من خلال درجة صلاحية موزعات الوقود. لنفترض أن موزع الوقود يخضع لتدفق بواسون  

دعونا ننظر في ميزات بناء كل مستوى من المستويات. ومن الناحية العملية، يُفترض أن تدفقات الطلب الواردة في أغلب الأحيان هي بواسون /47، 70، 74، 80/. تتميز تدفقات بواسون بالثبات والاعتياد وغياب التأثيرات اللاحقة. دعونا ننظر إلى هذه الخصائص.  

في النموذج الكلي قيد النظر، تتمتع التدفقات الواردة من المتطلبات عمومًا بخصائص الثبات والاعتياد وعدم وجود تأثير لاحق. يتم وصف تدفق بواسون بالكامل بواسطة معلمة واحدة - شدة التدفق R. الصيغة التقريبية لـ R لها الشكل  

في أبسط الحالات (تدفق بواسون)، فإن احتمال ظهور المتطلبات في أي فترة زمنية صغيرة يتناسب مع طول هذه الفترة ولا يعتمد على ما إذا كانت المتطلبات قد نشأت في فترات زمنية سابقة أم لا.  

نظرًا لأننا نفكر في تدفق بواسون متجانس للسفن بكثافة μ، فإن التحقيق المشترك للمساواة  

Y(t) = k وY(T-t)= q-k (وهذا يأتي من غياب التأثير اللاحق في تدفق بواسون). لهذا  

التدفق الناتج عن الخلخلة العشوائية أو تجميع تدفقات بواسون هو أيضًا بواسون.  

على سبيل المثال، عند وصف تدفق البيانات بشكل تحليلي، يمكن أن يكون تدفق بواسون للمتطلبات، وهو عادي وثابت ويفتقر إلى التأثيرات اللاحقة. قد يكون هذا تدفقًا بمتطلبات موزعة بالتساوي. إذا تم التوزيع بواسطة البيانات التجريبية، فإن القيم هي 7i1 7i2. ..، š يمكن أن تكون عناصر من الرسوم البيانية، وما إلى ذلك.  

غالبًا ما تكون هناك تحويلات تتطلب دمج التدفقات القادمة من مدخلات مختلفة. وفي هذه الحالة، قد تمثل إشارة الخرج مزيجًا من هذه التدفقات في تدفق واحد ذو خصائص مختلفة. على سبيل المثال، إذا تلقى مدخلان للحظر C طلبات بواسون، فيمكن أن تكون إشارة الخرج أيضًا عبارة عن دفق بواسون بمعلمة تساوي مجموع معلمات التدفقات الأصلية.  

دع الدفعات الفردية تتبع بعضها البعض على فترات زمنية عشوائية، موزعة وفقًا لقانون أسي مع المعلمة R > 0 (تدفق مدفوعات بواسون)، التي تتخذ دالة التوزيع التفاضلي شكلها  

بالنسبة لتدفق بواسون غير المستقر، فإن قانون توزيع الفجوة / لم يعد مؤشرا، لأنه يعتمد على الموقع على محور Ot ونوع الاعتماد R(7). ومع ذلك، بالنسبة لبعض المشكلات ذات التغييرات الصغيرة نسبيًا في R(0)، يمكن اعتبارها مؤشرًا تقريبًا بكثافة R(0-  

وهكذا، بالنسبة للنظام S قيد الدراسة بحالات منفصلة وزمن مستمر، تحدث التحولات من حالة إلى أخرى تحت تأثير تدفقات بواسون للأحداث ذات شدة معينة R.  

وفي النموذج قيد النظر، ينبغي اعتبار القدرة محدودة. ويأتي تدفق الطلبات الواردة من عدد محدود من الآلات العاملة (N - k)، والتي تتعطل في أوقات عشوائية وتتطلب الصيانة. علاوة على ذلك، فإن كل آلة من (N - k) قيد التشغيل. يولد تدفق بواسون للمتطلبات بشكل مكثف  

دعونا نتخيل السيارة كنظام معين S مع حالات منفصلة iSj،. 2. .... Sn، الذي ينتقل من الحالة S/ إلى الحالة Sj(i - 1, 2,..., n,j = I, 2,..., and) تحت تأثير تدفقات بواسون للأحداث (الإخفاقات) بكثافة Xd. سننظر في الحالات التالية للسيارة التي قد تكون فيها أثناء التشغيل والتي تتميز بتوقف العمل طوال اليوم  

تدفق بواسون للأحداث 53  

لاحظ أنه في حين أن تدفق بواسون k (t) لحدوث الظروف التي تؤدي إلى تصفية الحساب من قبل المودع لا يمكن ملاحظته في إطار نموذجنا، فإن احتمال q (tu،t) للحفاظ على الحساب والمتوقع المدة XI1 = Mt - 10 من وجود الحساب يمكن تقديرها، من حيث المبدأ، من خلال الإحصائيات القابلة للملاحظة. بوجود تقديرات إحصائية t - 10 و4-(tu,t) للقيم Mt - 0 وq (t0,t)، فمن السهل الحصول على التقديرات L. =(t.-)" وX =-( i-t0) ln (0 0 للمعلمة A لعملية بواسون غير القابلة للملاحظة. المعلمة X المقدرة بهذه الطريقة لها معنى العدد المتوقع من الأحداث لكل وحدة زمنية من الظروف التي تؤدي إلى إغلاق الحساب.  

وبالتالي يمكن اعتبار عملية ولادة مجموعة من رواد الأعمال أو رواد الأعمال الجدد بمثابة تدفق بواسون بسيط.  

بالنسبة لأبسط تدفق بواسون، فإن احتمال حدوث أحداث m بالضبط في الزمن r يساوي  

التعريف 5.8. يُطلق على تدفق بواسون الثابت الأبسط.  

دعونا نفكر في تدفق بواسون غير ثابت بكثافة Mf)، وفترة زمنية معينة بطول r>0، تبدأ من اللحظة t0 (وتنتهي، بالتالي، في اللحظة +r) ومتغير عشوائي منفصل X p r) - عدد الأحداث التي تحدث في التدفق خلال فترة زمنية من ta إلى t0+r.  

النتيجة الطبيعية 6.1. في تدفق بواسون غير مستقر مع كثافة A(t)، احتمال أنه خلال الفترة الزمنية من t0 إلى t0+r  

التعريف 6.2. عنصر الاحتمال لحدوث حدث في تدفق بواسون غير ثابت هو الاحتمال >،(AO لحدوث حدث خلال فترة زمنية أولية (صغيرة بما فيه الكفاية) من t0 إلى t0+bt.  

نظرية 6.2. بالنسبة لعنصر الاحتمال لحدوث حدث خلال فترة زمنية أولية من t0 إلى t0+Af في تدفق بواسون غير ثابت بكثافة A(t)، فإن الصيغة التقريبية تحمل  

شدة تدفق بواسون غير المستقر A(t)  

ومع ذلك، فقد ثبت في السنوات الأخيرة أنه "إذا تلقى نظام خدمة يتكون من /7 أجهزة تدفق بواسون ذو شدة /I وكانت مدة الخدمة تخضع لقانون التوزيع التعسفي تمامًا C (ES)، فإن التوزيع الرياضي لـ وهو I/ s، فبالنسبة للاحتمالات المحدودة P، تظل الصيغة (36) صالحة لذلك، في الوضع الثابت، لا تعتمد الاحتمالات / على خصائص التوزيع الاحتمالي لمدة الخدمة، بل على المتوسط ​​فقط مدة الخدمة...  

دعونا نفكر في حل مثل هذه المشكلة في ظروف Neftekumsky UBR. أتاح تحليل عمل خدمة الاختبار تجميع سلسلة إحصائية لكثافة تسليم الآبار للاختبار ومدة الاختبار. دراسة المتسلسلة أتاحت لنا أن نستنتج أن جريان الآبار الداخلة للاختبار هو جريان واحد ثابت دون عواقب، أي أنه يمتلك خواص جريان بواسون. وبدرجة معقولة من الدقة، يمكننا أن نفترض أن وقت الخدمة يتم توزيعه وفقًا للقانون الأسي. وبناء على السلاسل الإحصائية تم تجميع الجداول الخاصة بتوزيع كثافة تسليم الآبار للاختبار (الجدول 36)  

وتتم صياغة هذه المشكلة على النحو التالي: تدفق المتطلبات هو Poisson بالكثافة I ويتم توزيع مدة الخدمة وفقًا للقانون الأسي، مع متوسط ​​مدة الخدمة iAy. إذا كان عدد أجهزة الخدمة يساوي n، فمع تدفق طلبات بواسون الثابت، تكون الاحتمالات Pt (t) (الاحتمالات التي تشغلها الأجهزة I في الوقت الحالي) قريبة من قيمها الحدية (Erlash معادلة)  

إذا تم الجمع بين العديد من التدفقات العادية المستقلة ذات الشدة المماثلة، فمع زيادة عدد التدفقات المكونة، يقترب التدفق المشترك من الأبسط مع عدم الاستقرار المحتمل. إذا كانت تدفقات المجموع ثابتة، فسيتم الحصول على تدفق بواسون في الحد. شدة التدفق المشترك تساوي مجموع شدة كل منهما.  

كل وحدة من الوحدات المدرجة في الكتلة عبارة عن نظام معقد يتكون من عدد كبير من العناصر. يمكن أن يؤدي فشل كل منهم إلى فقدان قدرة الوحدة بأكملها على أداء المهمة المعينة. يتشكل تدفق الفشل للوحدة بمرور الوقت نتيجة لتراكب العديد من الأحداث - تدفقات الفشل للعناصر المدرجة في تكوينها. عند حل مشكلة عملية، يمكن اعتبار حالات الفشل في العناصر كأحداث مستقلة (أو ضعيفة الاعتماد) وأحداث عادية، وبالتالي، بالنسبة لتدفق الفشل الكلي للوحدة بأكملها، من المشروع تطبيق نظرية حد التدفق في نظرية العمليات العشوائية . تحدد هذه النظرية الشروط التي بموجبها يتم تقليل مجموع التدفقات العادية المستقلة (أو المعتمدة بشكل ضعيف) إلى توزيع بواسون لعدد حالات فشل الوحدة خلال فترة زمنية معينة t. الشروط هي أن التدفقات المضافة يجب أن يكون لها تقريبًا نفس التأثير على التدفق الإجمالي. في الممارسة الهندسية، يوصى باعتبار مجموع أكثر من 5-7 تدفقات بمثابة تدفق بواسون إذا كانت شدة هذه التدفقات بنفس الترتيب. يعتمد هذا البيان على دراسات متعددة أجريت باستخدام الاختبارات الإحصائية. بناءً على ما سبق، فإن عدد حالات الفشل m لكل وحدة من وحدة IES التي تحدث خلال الفاصل الزمني (/، M-t) له توزيع النموذج  

خلال فترة التشغيل العادي للوحدة (في القسم المركزي)، عند حل المشكلات العملية، يُفترض غالبًا أن R(/) = R = onst، أي. اعتماد نموذج تدفق فشل بواسون ثابت. في هذه الحالة، تأخذ الصيغة (2.8.1) الشكل  

وفقًا لمؤشر الخلو من الأعطال لوحدة IES، يتم أخذ متوسط ​​الوقت بين أعطال أنبوب الوقود، ومؤشر قابلية الصيانة هو متوسط ​​الوقت لاستعادة حالة العمل بعد فشل أنبوب الوقود للحصول على صيغ لحسابها المؤشرات، نستخدم الخاصية

دعونا نفكر في بعض الأنظمة المادية S ذات الحالات المنفصلة التي تنتقل من حالة إلى أخرى تحت تأثير بعض الأحداث العشوائية، على سبيل المثال، المكالمات عند مقسم الهاتف، والأعطال (الفشل) في عناصر المعدات، والطلقات الموجهة نحو الهدف، وما إلى ذلك.

دعونا نتخيل ذلك كما لو أن الأحداث التي تنقل النظام من حالة إلى أخرى هي نوع من تدفقات الأحداث (تدفقات الاستدعاء، وتدفقات الفشل، وتدفقات اللقطة، وما إلى ذلك).

دع النظام S مع الرسم البياني للحالة الموضح في الشكل. 4.27، في اللحظة t في الحالة S؛ ويمكن الانتقال منه إلى حالة تحت تأثير بعض تدفقات بواسون للأحداث ذات الشدة بمجرد ظهور الحدث الأول لهذا التدفق، ينتقل النظام على الفور (يقفز) من S إلى S كما نعلم فإن احتمال هذا الانتقال يزيد فترة زمنية أولية (عنصر احتمالية الانتقال) تساوي . وبالتالي، فإن الكثافة الاحتمالية للانتقال في سلسلة ماركوف المستمرة ليست أكثر من شدة تدفق الأحداث التي تحرك النظام على طول السهم المقابل.

إذا كانت جميع تدفقات الأحداث التي تنقل النظام S من حالة إلى أخرى هي بواسون (ثابتة أو غير ثابتة - لا فرق)، فإن العملية التي تحدث في النظام ستكون ماركوفية. في الواقع، ليس لتدفق بواسون أي تأثير لاحق، لذلك، بالنسبة لحالة معينة من النظام في لحظة معينة، فإن انتقالاته إلى حالات أخرى في المستقبل تكون ناجمة فقط عن ظهور بعض الأحداث في تدفقات بواسون، واحتمالات حدوثها من هذه الأحداث لا تعتمد على "ما قبل التاريخ" لهذه العملية.

في المستقبل، عند النظر في عمليات ماركوف في الأنظمة ذات الحالات المنفصلة والزمن المستمر (سلاسل ماركوف المستمرة)، سيكون من المناسب لنا في جميع الحالات اعتبار انتقالات النظام من حالة إلى حالة تحدث تحت تأثير بعض تيارات الأحداث، حتى لو كانت هذه الأحداث في الواقع فردية. على سبيل المثال، سنعتبر الجهاز الفني العامل عرضة لتدفق حالات الفشل، على الرغم من أنه في الواقع يمكن أن يفشل مرة واحدة فقط. في الواقع، إذا فشل الجهاز في اللحظة التي يصل فيها الحدث الأول للتدفق، فلا فرق على الإطلاق بين استمرار تدفق الأعطال بعد ذلك أو توقفه: لم يعد مصير الجهاز يعتمد عليه. بالنسبة لنا، سيكون الأمر أكثر ملاءمة للتعامل مع تيارات الأحداث.

لذلك، فإننا نعتبر النظام S الذي تحدث فيه التحولات من حالة إلى أخرى تحت تأثير تدفقات بواسون للأحداث بكثافات معينة. دعونا نحدد هذه الشدة (كثافات احتمالية التحولات) على الرسم البياني لحالات النظام في الأسهم المقابلة.

نحصل على رسم بياني للحالة مُسمى (الشكل 4.27)؛ والتي بموجبها، باستخدام القاعدة التي تمت صياغتها في الفقرة 3، يمكننا على الفور كتابة معادلات كولموغوروف التفاضلية لاحتمالات الحالات.

مثال 1. يتكون النظام الفني S من عقدتين: I و II؛ كل واحد منهم، بشكل مستقل عن الآخر، يمكن أن يفشل (يفشل). تدفق فشل العقدة الأولى هو Poissonian، مع شدة العقدة الثانية - Poissonian أيضًا، مع شدة كل عقدة مباشرة بعد بدء إصلاح الفشل (استعادته). تدفق الترميمات (استكمال إصلاحات العقدة التي تم إصلاحها) لكلا العقدتين هو بواسون بكثافة K.

أنشئ رسمًا بيانيًا لحالة النظام واكتب معادلات كولموجوروف لاحتمالات الحالة. تحديد الظروف الأولية التي يجب حل هذه المعادلات فيها إذا كان النظام يعمل بشكل صحيح في اللحظة الأولى.

حل. حالات النظام:

كلا عقدة الكذب

الجهاز الأول قيد الإصلاح والثاني يعمل

الوحدة الأولى تعمل والثانية قيد الإصلاح

يتم إصلاح كلا الوحدتين.

يظهر الرسم البياني لحالة النظام المسمى في الشكل. 4.28.

شدة تدفقات الأحداث في الشكل. يتم تضمين 4.28 للأسباب التالية. إذا كان النظام S في حالة ما، فإن هناك تدفقين من الأحداث يعملان عليه: تدفق أخطاء العقدة I بكثافة X، ونقلها إلى الحالة وتدفق أخطاء العقدة II بكثافة نقلها إلى دع النظام الآن في حالة (يتم إصلاح العقدة I، والعقدة II صحيحة). من هذه الحالة، يمكن للنظام، أولا، العودة إلى (يحدث هذا تحت تأثير تدفق الترميمات بكثافة)؛ ثانيًا، انتقل إلى الحالة (عندما لم يكتمل إصلاح العقدة الأولى بعد، وفشلت العقدة الثانية في هذه الأثناء)؛ يحدث هذا الانتقال تحت تأثير فشل تدفق العقدة II مع شدة يتم تحديد شدة تدفق الأسهم المتبقية بالمثل.

للإشارة إلى احتمالات الحالات وباستخدام القاعدة الموضحة في الفقرة 3، نكتب معادلات كولموغوروف لاحتمالات الحالات:

الشروط الأولية التي يجب حل هذا النظام بموجبها هي: في

لاحظ أنه باستخدام الشرط

سيكون من الممكن تقليل عدد المعادلات بمقدار واحد. في الواقع، يمكن التعبير عن أي من الاحتمالات بدلالة الاحتمالات الأخرى واستبدالها بالمعادلات (6.1)، ويمكن تجاهل المعادلة التي تحتوي على مشتق ذلك الاحتمال على الجانب الأيسر.

لاحظ، بالإضافة إلى ذلك، أن المعادلات (6.1) صالحة لكل من الشدة الثابتة لتدفقات بواسون X والمتغيرات:

مثال 2. تقوم مجموعة من خمس طائرات في تشكيل "عمود" (الشكل 4.29) بتنفيذ غارة على أراضي العدو. الطائرة الرائدة (الرائدة) هي جهاز التشويش؛ وإلى أن يتم إسقاطه، لا يمكن لأنظمة الدفاع الجوي للعدو اكتشاف الطائرات التي تتبعه ومهاجمتها. يتم مهاجمة جهاز التشويش فقط. تدفق الهجمات هو بواسون، بكثافة X (الهجمات/الساعة). نتيجة للهجوم، يتم إصابة جهاز التشويش باحتمالية p.

إذا تم إصابة جهاز التشويش (إسقاطه)، فسيتم اكتشاف الطائرة التي تتبعه وتتعرض لهجمات الدفاع الجوي؛ يتم توجيه تيار بواسون من الهجمات بكثافة X نحو كل واحد منهم (حتى يتم ضربه)؛ كل هجوم يضرب الطائرة مع احتمال ص. عندما يتم ضرب طائرة، تتوقف الهجمات عليها، لكن لا تنتقل إلى طائرات أخرى.

اكتب معادلات كولموجوروف لاحتمالات حالات النظام وحدد الشروط الأولية.

حل. سنقوم بترقيم حالات النظام حسب عدد الطائرات الباقية في المجموعة:

جميع الطائرات سليمة.

تم إسقاط جهاز التشويش وبقية الطائرات سليمة.

تم إسقاط جهاز التشويش ومفجر واحد وبقية الطائرات سليمة.

تم إسقاط جهاز التشويش والقاذفتين والطائرة المتبقية سليمة.

تم إسقاط جهاز التشويش وثلاثة قاذفات قنابل وطائرة واحدة سليمة.

تم إسقاط جميع الطائرات.

نحن نميز الدول عن بعضها البعض من خلال عدد القاذفات الباقية على قيد الحياة، وليس من خلال أي واحد منهم تم الحفاظ عليه، لأن جميع القاذفات متساوية في ظروف المهمة - فهي تتعرض للهجوم بنفس الشدة ويتم ضربها بنفس الاحتمال.

يظهر الرسم البياني لحالة النظام في الشكل. 4 30. لوضع علامة على هذا الرسم البياني، نحدد شدة تدفقات الأحداث التي تنقل النظام من حالة إلى أخرى.

يتم إخراج النظام من الدولة من خلال سيل من الهجمات الضارة (أو “الناجحة”)، أي تلك الهجمات التي تؤدي إلى هزيمة المدير (بالطبع، إذا لم يُضرب من قبل).

إن شدة تدفق الهجمات تساوي X، ولكن ليس كل منهم يضرب: كل واحد منهم يضرب فقط مع احتمال . من الواضح أن شدة تدفق الهجمات الضارة تساوي هذه الشدة ويشار إليها بالسهم الأول على اليسار في الرسم البياني (الشكل 4.30).

لنأخذ السهم التالي ونجد شدة النظام في حالة، أي أن أربع طائرات سليمة ويمكن مهاجمتها. ستتحول إلى حالة بمرور الوقت إذا تم إسقاط أي طائرة (بغض النظر عن الطائرة) خلال هذا الوقت. لنجد احتمالية وقوع الحدث المعاكس - خلال هذا الوقت لن يتم إسقاط طائرة واحدة:

هنا يتم تجاهل مصطلحات الترتيب الأعلى للصغر بالنسبة لطرح هذا الاحتمال من الوحدة، نحصل على احتمال الانتقال بسبب الوقت (عنصر احتمال الانتقال):

والذي يشار إليه بالسهم الثاني من اليسار. لاحظ أن شدة هذا التدفق من الأحداث تساوي ببساطة مجموع شدة تيارات الهجمات الضارة التي تستهدف الطائرات الفردية. وبالاستدلال بصريًا، يمكننا الحصول على هذا الاستنتاج على النحو التالي: يتكون النظام S في الولاية من أربع طائرات؛ يتأثر كل منها بسيل من الهجمات الضارة بشدة، مما يعني أن النظام ككل يتأثر بالسيل الإجمالي للهجمات الضارة بكثافة

حل. يظهر الرسم البياني للحالة المسمى في الشكل. 4.31.

معادلات كولموغوروف!

الشروط الأولية هي نفسها كما في المثال 2.

لاحظ أننا في هذا القسم قمنا فقط بكتابة المعادلات التفاضلية لاحتمالات الحالات، لكننا لم نحل هذه المعادلات.

وفي هذا الصدد يمكن ملاحظة ما يلي. معادلات احتمالات الحالة هي معادلات تفاضلية خطية ذات معاملات ثابتة أو متغيرة - اعتمادًا على ما إذا كانت شدة تدفقات الأحداث التي تنقل النظام من حالة إلى أخرى ثابتة أم متغيرة.

لا يمكن دمج نظام مكون من عدة معادلات تفاضلية خطية من هذا النوع إلا في حالات نادرة في التربيعات: عادةً ما يجب حل هذا النظام رقميًا - إما يدويًا، أو على كمبيوتر تمثيلي (AVM)، أو أخيرًا على كمبيوتر رقمي . كل هذه الطرق لحل أنظمة المعادلات التفاضلية لا تسبب صعوبات؛ ولذلك فإن الأهم هو أن نكون قادرين على كتابة نظام المعادلات وصياغة الشروط الأولية له، وهو ما اقتصرنا عليه هنا.

تعلمنا في المحاضرات السابقة كيفية محاكاة حدوث الأحداث العشوائية. وهذا هو، يمكننا اللعب أيّمن الأحداث المحتملة سوف تحدث و بحيثكمية. لتحديد ذلك، تحتاج إلى معرفة الخصائص الإحصائية لحدوث الأحداث، على سبيل المثال، يمكن أن تكون هذه القيمة هي احتمال وقوع حدث ما، أو التوزيع الاحتمالي لأحداث مختلفة، إذا كان هناك عدد لا نهائي من أنواع هذه الأحداث.

ولكن في كثير من الأحيان من المهم أيضًا أن نعرف متىهذا الحدث أو ذاك سيحدث على وجه التحديد في الوقت المناسب.

عندما تكون هناك أحداث كثيرة وتتبع بعضها البعض، فإنها تتشكل تدفق. لاحظ أن الأحداث يجب أن تكون متجانسة، أي متشابهة إلى حد ما مع بعضها البعض. على سبيل المثال، ظهور السائقين في محطات الوقود يريدون تزويد سياراتهم بالوقود. أي أن الأحداث المتجانسة تشكل سلسلة معينة. وفي هذه الحالة يفترض إعطاء الخاصية الإحصائية لهذه الظاهرة (شدة تدفق الأحداث). تشير شدة تدفق الحدث إلى عددها متوسطتحدث مثل هذه الأحداث لكل وحدة زمنية. ولكن متى سيحدث كل حدث محدد بالضبط يجب تحديده باستخدام طرق النمذجة. ومن المهم أنه عندما نولد مثلا 1000 حدث في 200 ساعة فإن عددها سيكون مساويا تقريبا لمتوسط ​​شدة حدوث الأحداث 1000/200 = 5 أحداث في الساعة، وهي قيمة إحصائية تميز هذا التدفق بأنه جميع.

كثافة التدفق بمعنى ما هي التوقع الرياضي لعدد الأحداث لكل وحدة زمنية. ولكن في الواقع قد يتبين أن 4 أحداث تظهر في ساعة واحدة، و6 أحداث في ساعة أخرى، على الرغم من وجود 5 أحداث في المتوسط ​​في الساعة، لذا فإن قيمة واحدة لا تكفي لتوصيف التدفق. والكمية الثانية التي تميز مدى انتشار الأحداث بالنسبة للتوقع الرياضي هي، كما كان من قبل، التشتت. في الواقع، هذه القيمة هي التي تحدد عشوائية حدوث حدث ما، وضعف القدرة على التنبؤ بلحظة حدوثه. وسنتحدث عن هذه القيمة في المحاضرة القادمة.

تدفق الأحداث هو سلسلة من الأحداث المتجانسة التي تحدث واحدة تلو الأخرى على فترات عشوائية. وعلى محور الزمن، تبدو هذه الأحداث كما هو موضح في الشكل. 28.1.

مثال على تدفق الأحداث هو تسلسل اللحظات عندما تهبط الطائرات على المدرج عند وصولها إلى المطار.

شدة التدفق λ هذا هو متوسط ​​عدد الأحداث لكل وحدة زمنية. يمكن حساب شدة التدفق بشكل تجريبي باستخدام الصيغة: λ = ن/تن، أين نعدد الأحداث التي وقعت أثناء المراقبة تن.

إذا كان الفاصل الزمني بين الأحداث τ ييساوي ثابتًا أو محددًا ببعض الصيغة في النموذج: ر ي = F(ر ي 1)، ثم يتم استدعاء التدفق حتمية. وإلا فإن التدفق يسمى عشوائي.

هناك تيارات عشوائية:

• عادي: احتمال وقوع حدثين أو أكثر في وقت واحد هو صفر؛
• ثابت: تكرار حدوث الأحداث λ (ر) = ثابت( ر) ;
• دون أثر: احتمال وقوع حدث عشوائي لا يعتمد على لحظة وقوع الأحداث السابقة.

تدفق بواسون

من المعتاد اعتبار تدفق بواسون هو معيار التدفق في النمذجة..

تدفق بواسونهذا تدفق عادي بدون تأثير لاحق.

وكما ذكر سابقا، فإن احتمال ذلك خلال فترة زمنية (ر 0 , ر 0 + τ ) سوف يحدث ميتم تحديد الأحداث من قانون بواسون:

أين أمعلمة بواسون.

لو λ (ر) = ثابت( ر) ، إنه تدفق بواسون ثابت(الأبسط). في هذه الحالة أ = λ · ر . لو λ = فار( ر) ، إنه تدفق بواسون غير مستقر.

لأبسط التدفق، احتمال حدوثه مالأحداث خلال τ مساوي ل:

احتمال عدم الحدوث (أي لا شيء، م= 0 ) الأحداث مع مرور الوقت τ مساوي ل:

أرز. 28.2 يوضح التبعية ص 0 من وقت. ومن الواضح أنه كلما زاد وقت المراقبة، قل احتمال عدم وقوع أي حدث. علاوة على ذلك، كلما ارتفعت القيمة λ كلما زاد انحدار الرسم البياني، كلما قلت الاحتمالية بشكل أسرع. وهذا يتوافق مع حقيقة أنه إذا كانت شدة وقوع الأحداث عالية، فإن احتمال عدم وقوع الحدث بسرعة يتناقص مع زمن المراقبة.

احتمال وقوع حدث واحد على الأقل ( صХБ1С) يتم حسابه على النحو التالي:

لأن ص HB1S + ص 0 = 1 (إما سيظهر حدث واحد على الأقل، أو لن يظهر أي حدث، ولم يتم إعطاء الآخر).

من الرسم البياني في الشكل. 28.3 من الواضح أن احتمال حدوث حدث واحد على الأقل يميل إلى الوحدة بمرور الوقت، أي مع ملاحظة طويلة المدى مقابلة للحدث، فإنه سيحدث بالتأكيد عاجلاً أم آجلاً. كلما طال أمد مراقبة حدث ما (كلما زادت ر)، كلما زاد احتمال وقوع الحدث؛ يزداد الرسم البياني للدالة بشكل رتيب.

كلما زادت شدة حدوث الحدث (كلما زادت λ )، كلما حدث هذا الحدث بشكل أسرع، وكلما زادت سرعة ميل الدالة إلى الوحدة. المعلمة على الرسم البياني λ ويمثلها انحدار الخط (منحدر المماس).

إذا زادت λ ، ثم عند مراقبة حدث خلال نفس الوقت τ ، يزداد احتمال وقوع حدث (انظر الشكل 28.4). من الواضح أن الرسم البياني يبدأ من 0، لأنه إذا كان وقت المراقبة متناهيًا في الصغر، فإن احتمال وقوع الحدث خلال هذا الوقت يكون ضئيلًا. والعكس صحيح، إذا كان وقت المراقبة طويلًا إلى ما لا نهاية، فمن المؤكد أن الحدث سيحدث مرة واحدة على الأقل، مما يعني أن الرسم البياني يميل إلى قيمة احتمالية تساوي 1.

ومن خلال دراسة القانون يمكنك تحديد ما يلي: م س = 1/λ , σ = 1/λ ، أي لأبسط التدفق م س = σ . وتساوي التوقع الرياضي مع الانحراف المعياري يعني أن هذا التدفق هو تدفق بدون تأثير لاحق. التشتت (بتعبير أدق، الانحراف المعياري) لمثل هذا التدفق كبير. فيزيائيًا، هذا يعني أن وقت وقوع الحدث (المسافة بين الأحداث) لا يمكن التنبؤ به بشكل جيد، وعشوائي، ويقع في الفاصل الزمني م س – σ < τ ي < م س + σ . على الرغم من أنه من الواضح أنه في المتوسط ​​يساوي تقريبًا: τ ي = م س = تن/ ن . يمكن أن يحدث حدث في أي وقت، ولكن في نطاق هذه اللحظة τ ينسبياً م سل [ σ ; +σ ] (حجم الأثر). في التين. يوضح الشكل 28.5 المواضع المحتملة للحدث 2 بالنسبة لمحور الوقت لمعطى معين σ . وفي هذه الحالة يقولون إن الحدث الأول لا يؤثر في الثاني، والثاني لا يؤثر في الثالث، وهكذا، أي لا أثر بعده.

ضمن معنى صيساوي ص(انظر المحاضرة 23. نمذجة حدث عشوائي. نمذجة مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة)، وبالتالي، التعبير عن τ من الصيغة (*) وأخيرًا، لتحديد الفواصل الزمنية بين حدثين عشوائيين لدينا:

τ = 1/ λ لين( ص) ,

أين صرقم عشوائي موزع بشكل موحد من 0 إلى 1، وهو مأخوذ من RNG، τ الفاصل الزمني بين الأحداث العشوائية (متغير عشوائي τ ي ).

مثال 1. دعونا نفكر في تدفق المنتجات التي تصل إلى العملية التكنولوجية. تصل المنتجات بشكل عشوائي بمعدل ثماني قطع يوميًا (معدل التدفق λ = 8/24 [وحدات/ساعة]). ومن الضروري محاكاة هذه العملية في الداخل تن = 100 ساعة. م = 1/λ = 24/8 = 3 أي في المتوسط ​​جزء واحد كل ثلاث ساعات. لاحظ أن σ = 3 . في التين. يعرض الشكل 28.6 خوارزمية تولد دفقًا من الأحداث العشوائية.

في التين. يوضح الشكل 28.7 نتيجة الخوارزمية، موضحًا اللحظات الزمنية التي وصلت فيها الأجزاء للعملية. كما ترون، في هذه الفترة فقط تن = 100 وحدة إنتاج تمت معالجتها ن= 33 منتج. إذا قمنا بتشغيل الخوارزمية مرة أخرى، إذن نقد تكون متساوية، على سبيل المثال، 34 أو 35 أو 32. ولكن في المتوسط، ل كتعمل الخوارزمية نستكون 33.33 إذا حسبت المسافات بين الأحداث رمع أناوالنقاط الزمنية المحددة بـ 3 أنا، فستكون القيمة في المتوسط ​​مساوية لـ σ = 3 .

نمذجة التدفقات غير العادية للأحداث

إذا كان من المعروف أن التدفق ليس عاديا، فمن الضروري، بالإضافة إلى لحظة حدوث الحدث، نمذجة عدد الأحداث التي يمكن أن تظهر في هذه اللحظة. على سبيل المثال، تصل السيارات إلى محطة السكك الحديدية كجزء من القطار في أوقات عشوائية (تدفق القطار المنتظم). ولكن في الوقت نفسه، قد يكون للقطار عدد مختلف (عشوائي) من السيارات. في هذه الحالة، يتم الحديث عن تدفق العربات على أنه تدفق للأحداث غير العادية.

لنفترض ذلك م ك = 10 , σ = 4 (أي أنه في المتوسط ​​في 68 حالة من أصل 100 يوجد من 6 إلى 14 سيارة في القطار) ويتم توزيع عددها حسب القانون العادي. في المكان المحدد (*) في الخوارزمية السابقة (انظر الشكل 28.6)، تحتاج إلى إدراج الجزء الموضح في الشكل. 28.8.

مثال 2. حل المشكلة التالية مفيد جدًا في الإنتاج. ما هو متوسط ​​وقت التوقف اليومي لمعدات العقدة التكنولوجية إذا قامت العقدة بمعالجة كل منتج لفترة عشوائية تحددها شدة تدفق الأحداث العشوائية λ 2؟ وفي الوقت نفسه، ثبت تجريبيًا أن المنتجات يتم إحضارها أيضًا للمعالجة في أوقات عشوائية يحددها التدفق λ 1 على دفعات من 8 قطع، ويتقلب حجم الدفعة بشكل عشوائي وفقًا للقانون العادي م = 8 , σ = 2 (أنظر المحاضرة 25). قبل النمذجة ت= 0 لا توجد منتجات في المخزون. ومن الضروري محاكاة هذه العملية في الداخل تن = 100 ساعة.

في التين. يعرض الشكل 28.9 خوارزمية تولد بشكل عشوائي تدفق وصول دفعات المنتجات للمعالجة وتدفق الأحداث العشوائية لخروج دفعات المنتجات من المعالجة.

في التين. يوضح الشكل 28.10 نتيجة الخوارزمية: اللحظات الزمنية التي وصلت فيها الأجزاء إلى العملية، واللحظات الزمنية التي غادرت فيها الأجزاء العملية. يوضح السطر الثالث عدد الأجزاء الموجودة في قائمة الانتظار للمعالجة (الموجودة في مستودع العقدة) في نقاط زمنية مختلفة.

من خلال ملاحظة الأوقات التي كانت فيها عقدة المعالجة خاملة في انتظار الجزء التالي (انظر في الشكل 28.10 أقسام الوقت المميزة باللون الأحمر)، يمكننا حساب إجمالي وقت التوقف عن العمل للعقدة طوال وقت المراقبة، ثم حساب متوسط ​​وقت التوقف عن العمل خلال اليوم. لهذا التنفيذ، يتم حساب هذه المرة على النحو التالي:

تإلخ. الأربعاء. = 24 · ( ر 1 افي + ر 2 افي + ر 3 افي + ر 4 افي + + ر نإلخ.)/ تن.

التمرين 1 . تغيير القيمة σ تثبيت التبعية تإلخ. الأربعاء. ( σ ) . تحديد تكلفة توقف العقدة بـ 100 يورو/ساعة، وتحديد خسائر المؤسسة السنوية نتيجة عدم انتظام عمل الموردين. اقتراح صياغة بند عقد المنشأة مع الموردين "مبلغ غرامة التأخير في تسليم المنتجات"

المهمة 2. من خلال تغيير كمية التعبئة الأولية للمستودعات، تحديد كيفية تغير خسائر المؤسسة السنوية الناتجة عن عدم انتظام عمل الموردين اعتمادًا على كمية المخزون المقبولة في المؤسسة.

محاكاة تيارات الأحداث غير الثابتة

في بعض الحالات، قد تتغير شدة التدفق مع مرور الوقت λ (ر) . يسمى هذا التدفق غير مستقر. على سبيل المثال، قد يختلف متوسط ​​عدد سيارات الإسعاف في الساعة التي تغادر المحطة استجابةً لمكالمات من سكان مدينة كبيرة على مدار اليوم. ومن المعروف، على سبيل المثال، أن أكبر عدد من المكالمات يقع على فترات من 23 إلى 01 صباحًا ومن 05 إلى 07 صباحًا، بينما في الساعات الأخرى يكون النصف (انظر الشكل 28.11).

وفي هذه الحالة التوزيع λ (ر) يمكن تحديدها إما عن طريق رسم بياني أو صيغة أو جدول. وفي الخوارزمية الموضحة في الشكل. 28.6، في المكان المحدد (**)، ستحتاج إلى إدخال الجزء الموضح في الشكل. 28.12.